Алексей Никанорович родился в крестьянской семье в селе Боголюбовка Бузулукского уезда 17 марта 1914 года. Его отец, участник первой мировой войны, умер, когда Алексею шел шестой год. Ему пришлось мало учиться, приходилось много работать, чтобы помогать семье.
Окончив рабфак, он поступил в Оренбургский учительский институт. В 1937 году, после окончания института, он был направлен учителем русского языка и литературы в село Державино.
Его педагогическую деятельность прервала служба в армии. А в 1941 году грянула война. В 1960-м году Шестаков вместе с семьей переезжает в Бузулук и начинает работать преподавателем в лесном техникуме. Помимо педагогической деятельности возглавляет литературный кружок, принимает активное участие в работе городского литературного объединения имени Д. Фурманова.